Stabilité des flotteurs

Sur un autre forum, j'avais rédigé une petite introduction au problème de la stabilité du navire. Introduction sans prétention, qui se veut une simple vulgarisation de la question.  

Je suis disposée à en faire profiter le présent forum, si je reçois une approbation (de principe) de ma démarche… :flower:

Bien le bonjour

ça peut être interressant surtout pour ceux qui font du radiocommandé, certaine maquette étant particulièrement chargés dans les hauts

toujours partant pour apprendre quelque chose de neuf...peut-être autrement!!

Ayant décelé un intérêt certain pour la question, j'entreprends donc de développer le sujet.

J’espère qu’on me pardonnera ma prétention, et qu’on n’hésitera pas à critiquer ma rédaction, si elle est perçue comme trop absconse…

C’est un questionnement qui m’a amenée à réfléchir sur le sujet de la stabilité transversale (pour la longitudinale, c’est un peu pareil, mais moins crucial).
Ma petite Synthèse ne prétend pas être un mémoire de thèse. Loin de là !
Mais seulement une approche accessible à tout non-spécialiste.

Stabilité transversale :

1.- Équilibre du navire
Soit un navire de poids P. En le considérant d’une forme régulière sur toute sa longueur (ce qui n’est évidemment jamais le cas) le problème sera ramené à un calcul en deux dimensions sur une section centrale de la coque. Désignons G son centre de gravité, et C son (bary-)centre de volume immergé. Soit H l’intersection de la poussée (d’Archimède) exercée sur le flotteur, avec l’axe vertical du navire. La distance GC (désignée a) et la distance HC’ (désignée h) déterminent l’équilibre du flotteur.


En effet le navire incliné d’un angle θ se redresse sous l’effet d’un couple de redressement dont le moment (‘mu’ ou μ) vaut : μ = P*(h — a)*sin θ.

Si θ tend vers zéro (c'est-à-dire à la verticalité du navire) le point métacentrique H tend vers une position limite M (qui n’est pas à l’infini sur la verticale !!…) appelé métacentre transversal.

Dans ce cas le segment HC’ (de valeur h) tend à se confondre avec MC, dont la valeur est ρ.


La condition de stabilité transversale est obtenue lorsque le segment MC est plus grand que le segment GC, ce qui s’exprime aussi par : (ρ — a) > 0. Nous tenons donc (enfin !) notre fameux «rhô moins A» !!

Le produit P*(ρ — a) est appelé module de stabilité initiale transversale.

Le prochain post montrera comment se présente la courbe de stabilité transversale, et pourquoi la position de M n’est pas à l’infini.

À suivre…

Bonsoir merci pour le cour. Amitié

La stabilité ? Mais c’est très simple…(2/8 )
Puisque je vois que ça suit, poursuivons…

Je passe sur la notion de polygone de sustentation, puisque ici nous raisonnons en deux dimensions (même si c’est une approche très simplifiée du problème, car, en vérité le navire subit bel et bien des mouvements dans les trois axes). Cependant cet aspect pourrait en effet être illustré par le cas de figure où le point métacentrique passe en dessous du centre de gravité…

La courbe de stabilité transversale illustre le phénomène de l’équilibre et fait comprendre que la position de M n’est pas à l’infini, ce qui se serait traduit par une courbe asymptotique (comme une hyperbole).

Cette courbe représente les variations du moment de redressement [P*(h—a)sin θ] en fonction de l’angle d’inclinaison θ.

C’est donc la courbe de la fonction P*(h — a)sin θ, en fonction de θ.

Le maximum de la courbe (Cm = couple de chavirement statique), est atteint pour θm, angle de chavirement statique.


Ici on doit préciser que Cm est la valeur à partir de laquelle un mouvement inclinant fera sûrement chavirer le navire, à condition d'être appliqué assez longtemps compte tenu du moment d'inertie du navire autour de l'axe d'inclinaison. Mais θm n'est en aucun cas un angle d'inclinaison au-delà duquel le flotteur chavire à tous les coups.

On obtient de la même façon la courbe du bras de levier de redressement : elle a strictement la même forme, car, à déplacement constant, le facteur Poids (P) peut s’éliminer de la formule. Il ne reste donc que la longueur du bras de levier, dont la valeur maximale est aussi obtenue pour le même θm, angle de chavirement statique.

L’angle de chavirement dynamique est en général un peu supérieur à ½ θm (la moitié de angle de chavirement statique !!)

Sur la courbe des moments, on comprendra la réalité de la stabilité pour un angle de gîte nul soit θ = 0.

La pente de la courbe est donnée par la dérivée de la fonction par rapport à θ (exprimé en radian). Cette dérivée est égale à P*(h — a)cos θ.
Or pour θ = 0, cos θ = 1. Donc à ce point (de gîte nulle) la pente (de la courbe) est égale à P*(h — a).

Et puisque, à l’angle θ = 0, la distance h se confond avec ρ (soit h = ρ), il en résulte immédiatement une pente de P*(ρ — a)/ (1 radian). Et non pas une pente verticale qui aurait été une sorte d’asymptote hyperbolique, figurant le métacentre à l’infini.

Merci Dalhia pour cet exposé sur l'hydrostatique



sans vouloir rentrer ds les details ,ni te donner le moindre conseil (je me permettrais pas), avec les schemas des forces hydrostatiques je pense qu'un petit croquis des 3 cas serait pas mal pour illustrer tes propos sur les conditions de stabilité (stable/instable et neutre).

@ + pour le poids suspendu et la carene liquide

merci encore

kagou a écrit:

[…]un petit croquis des 3 cas serait pas mal pour illustrer tes propos sur les conditions de stabilité (stable/instable et neutre).
@ + pour le poids suspendu et la carene liquide : D[…]

Poids suspendu et carène liquide c'est pour plus tard…
Merci pour les encouragements

La stabilité ? Mais c’est très simple…(3/8 )

Maintenant que nous avons compris l'essentiel du problème, nous allons pouvoir, l'esprit tranquille, approfondir le sujet…

Rappelons d'abord qu'il s'agit d’une étude statique ne faisant intervenir que des mouvements réversibles, donc idéalement lents, et que nous étudions le cas d'un navire amphidrome, c'est-à-dire dont l'avant n'est pas discernable de l'arrière. Ou, si l'on veut, possédant deux plans de symétrie perpendiculaires entre eux. Le plan de symétrie parallèle à la grande dimension est dit longitudinal, l'autre est dit transversal.
Ce qui a évidemment pour heureux résultat de garder le diagramme des forces dans le plan de symétrie transversal.

Enfin, souvenons-nous que les inclinaisons purement transversales ne sont que des cas particuliers, un navire s'inclinant souvent autour d'un axe plus ou moins oblique. Cependant la stabilité transversale étant, de fait, la plus fragile sur tout les navires, il parait judicieux d'en commencer l'étude en se fixant les idées sur le cas d'une inclinaison transversale pure.

Nous faisons donc subir à notre flotteur amphidrome des inclinaisons isocarènes autour d'un axe parallèle à son plan de symétrie longitudinal (figure 05, ci-après)


Isocarène signifie que seule la géométrie du volume immergé varie, mais que la mesure de ce volume reste constante.

Les plans de flottaison (matérialisés par la surface du plan d'eau) F, F' appartiennent donc à l'ensemble des plans qui limite, dans la coque, des volumes de mesures égales. F est le plan de flottaison correspondant à la position droite.

Le module des vecteurs Π et Π' (pi et pi’ ) qui représentent la poussée d'Archimède, reste constant (inclinaison isocarènes) mais l'origine de ces vecteurs varie dans le plan de symétrie transversal : à chaque plan de flottaison correspond un centre de volume C, C',…. La direction du vecteur Π (pi) qui est fixe dans l'espace (elle est verticale) varie évidemment dans un référentiel lié au flotteur.

Soumis à la poussée d'Archimède le flotteur est en outre sollicité par son propre poids dont le vecteur représentatif P a une origine fixe dans le flotteur (le centre de gravité), un module constant, une direction fixe dans l'espace (verticale) et qui est donc variable par rapport au flotteur.

À suivre…

Bien le bonjour

vraiment très interressant

mes cours de physique sont un peut loin mais je comprend l'essentiel

Bonjour merci de nous rafraichir la mémoire. Amitié

BROMURE a écrit:

[…]vraiment très interressant //mes cours de physique sont un peut loin mais je comprend l'essentiel

jeanbauduen a écrit:

[…] merci de nous rafraichir la mémoire. Amitié

Merci pour ces encouragements. Et, puisque ce sujet semble obtenir l’aval du public (tolérant et indulgent), je poursuis donc.

En précisant cependant qu’il ne s’agit pas, de ma part, de professer un cours magistral (quelle prétentieuse je ferais alors ! ) mais seulement de partager ma vision personnelle de la question. Laquelle est donc susceptible d’être critiquée, si l’on s’aperçoit d'aventure que j’y ai commis quelques erreurs (de raisonnement ou d’interrprétation).

La stabilité ? Mais c’est très simple…(4/8 )

Nous en étions donc à l’analyse du vecteur Π (pi) représentant la poussée d'Archimède.
Et nous pouvons observer son incidence sur la condition d'équilibre stable. Sur la figure 05 b ci après…


… nous voyons clairement que la condition nécessaire et suffisante pour que le flotteur incliné revienne de lui-même en position droite (plan de flottaison F) est que le support de Π (pi) coupe le plan de symétrie longitudinal en H au dessus de G.
Ce résultat n'est pas la conséquence d'un cas de figure heureux, mais peut être démontré dans toute sa généralité par des considérations énergétiques.
(On y observe aussi un nouvel élément graphique désigné développée métacentrique ; il sera explicité juste après).

Ce schéma va nous permettre de déterminer les paramètres et les figures remarquables participant à l’équilibre transversal.
Notons d'abord que, dans le cadre des hypothèses formulées précédemment (étude statique, inclinaisons isocarènes) nous avons toujours Π (pi) + P = 0 (car ces deux forces sont égales, mais de sens opposé), et que l'équilibre dépend uniquement du sens du couple créé par les vecteurs Π (pi) et P.

La position d'équilibre est réalisée lorsque ces vecteurs ont même support (la verticale dans tous les cas, même lorsque le constructeur n'a pas réussi à réaliser une coque symétrique).

(À suivre…)

Bonsoir y a plus qu'a. Amitié

J'aurais pas dit mieux

La stabilité ? Mais c’est très simple…(5/8 )

Puisqu'il n'y a plus qu'à… (et que personne ne dit mieux), je continue…

Bien que mon raisonnement soit basé sur l’hypothèse d’un poids (et déplacement) constant, l'aspect des volumes de carène changeant avec le poids (et le déplacement qui va avec) nous conduira à observer le comportement différent entre une coque à muraille évasée ou à muraille rentrante.
Et ce, en évoquant le rapport entre le métacentre et la développée métacentrique.

Nous avons vu le rôle important que joue la position du point H comme condition de stabilité. Il est donc primordial de rechercher, lorsqu'on s'intéresse à la stabilité initiale du flotteur. Si ce point H tend vers une position limite lorsque l'angle d'inclinaison (figure 05 b) tend vers zéro.

Or on peut démontrer :

- que le support de Π (pi) reste tangent à une courbe fixe par rapport au flotteur. Cette courbe, appelée développée métacentrique, ne dépend évidemment que de la géométrie de la coque,

- que cette courbe est elle-même tangente en un point M à la droite GH (figure 05).

Ce point M appelé métacentre transversal est la limite de H lorsque θ tend vers 0.

Nous pouvons donc ici reprendre les conditions d’équilibre transversal en les particularisant au cas de la stabilité initiale (petits angles d'inclinaison autour de la position droite) et énoncer :

«La condition nécessaire et suffisante de la stabilité initiale est que le métacentre soit au-dessus du centre de gravité.»

Ce qui paraît un peu trivial, mais qui n'allait pas de soi lorsque seul le centre de poussée semblait importer ! Mais ce dernier est justement (presque) toujours situé en dessous du centre de gravité (mais pas sur les voiliers quillards, à lest lourd !)

(À suivre…)

Bonjour Dahlia bleue, dans ta première figure, tu énonces que la poussée d'Archimède est égale au poids du flotteur si j'ai bien lu. Autant que je me souvienne, il y a erreur ..., car la poussée d'Archimède est égale au poids du volume déplacé, et dans le cas de ton flotteur, P est différent de pi. Désolé. Bien cordialement Yves

marinyves a écrit:

Bonjour Dahlia bleue, dans ta première figure, tu énonces que la poussée d'Archimède est égale au poids du flotteur si j'ai bien lu. Autant que je me souvienne, il y a erreur ..., car la poussée d'Archimède est égale au poids du volume déplacé, et dans le cas de ton flotteur, P est différent de pi. Désolé. Bien cordialement Yves

Bonne remarque ! J'ai sans doute été un peu trop brève dans mon raisonnement.

Il me semble cependant (mais je suis à l'écoute des éventuelles objections) que le poids du volume de fluide déplacé est égal au poids du flotteur (mais de sens opposé).
Si ce n'est pas exact, ça fiche tout le raisonnement par terre, selon moi. Mais dans une géométrie non-euclidienne, pourquoi pas ?

Note : Je me suis amusée (mais je n'ai pas encore terminé mes calculs) à élaborer un schéma d'un énorme flotteur sur une toute petite planète. Où l'on constate que les vecteurs de force en action ne sont plus parallèles, puisqu'influencés par la pesanteur dont les directions, convergentes vers le centre de la planète, ne sont plus parallèles. L'approximation, permise sur la Terre avec des navires de petite taille (en comparaison avec le diamètre de notre planète) ne fonctionne alors plus.

Effectivement, Le poids du volume déplacé est égal et de sens opposé au poids de l'objet qui est immergé. dans le cas de ton flotteur, si tu le places dans de l'eau douce ou dans de l'eau salée (ou un autre liquide si tu veux faire une expérience), tu verras la différence, puisque les densités étant différentes, et la poussée d'Archimède équilibrant toujours le poids alors que les densités sont différentes, l'objet sera plus ou moins immergé. Voilà voilà. Bien amicalement. Yves

marinyves a écrit:

Effectivement, Le poids du volume déplacé est égal et de sens opposé au poids de l'objet qui est immergé. dans le cas de ton flotteur, si tu le places dans de l'eau douce ou dans de l'eau salée (ou un autre liquide si tu veux faire une expérience), tu verras la différence, puisque les densités étant différentes, et la poussée d'Archimède équilibrant toujours le poids alors que les densités sont différentes, l'objet sera plus ou moins immergé. Voilà voilà. Bien amicalement. Yves

Parfaitement exact ! Voilà qui va nous permettre de poursuivre nos raisonnements

marinyves a écrit:

Effectivement, Le poids du volume déplacé est égal et de sens opposé au poids de l'objet qui est immergé. dans le cas de ton flotteur, si tu le places dans de l'eau douce ou dans de l'eau salée (ou un autre liquide si tu veux faire une expérience), tu verras la différence, puisque les densités étant différentes, et la poussée d'Archimède équilibrant toujours le poids alors que les densités sont différentes, l'objet sera plus ou moins immergé. Voilà voilà. Bien amicalement. Yves

je suis largué,

ah ben voilà !! ca j'ai compris, ca se rapporte à: h= ΡgV ou h=rhôgV,

h est la hauteur,

P= Rhô, densité du liquide,

g= gravité soit 9.81 en général

V= volume du solide immergé.

merci marinyves, la dame ne voulait pas le dire tout de suite...

Il est vrai que cette démonstration fort intéressante aurait pu être expliquée d'une façon beaucoup plus simple et claire, ceci dit si je faisais une maquette navigante, je demanderais conseils aux spécialistes du forum qui se feraient j'en suis sur un plaisir pour me renseigner, avec leur expérience je n'aurais pas eu de problème

Bonjour Pat, permets moi une petite précision; dans ce que j'ai évoqué, il faut considérer deux choses bien distinctes :

- le poids de l'objet lui-même qui exerce une force de haut en bas. La valeur de cette force est la valeur du poids de l'objet et ce dernier intègre déjà la gravité (g) dont tu parles (P=Mxg - M est une valeur constante pour l'objet alors que g varie en fonction de l'endroit où tu es). Pour être complet, je te renvoie au lien suivant ---> http://phys.free.fr/maspoids.htm

- la poussée d'Archimède directement opposée (bas en haut) au poids et dont la valeur est F= Rhô x V, Rhô étant la densité et V le volume de liquide déplacé.

J'espère avoir été clair. Bonne journée à toi. Bien amicalement. Yves

La stabilité ? Mais c’est très simple…(6/8 )

Puisque tout le monde a l'air de suivre, et que nous commençons à mieux saisir le phénomène, poursuivons…

Voyons d’abord le rayon métacentrique.
La distance CM notée ρ est appelée rayon métacentrique.

Une question avait été posée : quelle est la courbe décrite par le métacentre au cours d’une inclinaison ?
On se souviendra ici que la développée d'une courbe est l'enveloppe des normales. Il s'agit ici des normales à la courbe décrite par le centre de carène C. La mesure ρ est donc le rayon de courbure en C à la courbe représentative du lieu géométrique de C.
Si l'on note a la distance CG on voit que la stabilité transversale initiale est caractérisée par la valeur (ρ - a).
Une nouvelle façon d'énoncer la condition de stabilité initiale est donc d'écrire : (ρ – a) > O.
On verra ultérieurement une autre expression de ρ, en fonction de l'axe d'inclinaison et du volume de carènes.

Remarques sur la développée métacentrique.

On a déjà observé que la forme de la développée métacentrique dépendait uniquement des formes de la carène. Les figures 06 et 07 précisent ce point. On voit que la pointe (point de rebroussement) de cette courbe est dirigée vers le haut ou vers le bas suivant que la coque a, soit des murailles droites ou évasées vers le haut, soit des murailles rentrantes vers le haut.


Pour examiner le couple de redressement et la courbe de stabilité, reprenons encore une fois la figure 05 :

… sur laquelle nous menons par G la perpendiculaire GK à C’H.
Le moment (μ ou ‘mu’) de redressement du flotteur s'exprime ainsi :

μ = P*GK ou encore μ = P*GH*sin θ , qu'on peut aussi écrire μ = P*(h - a)*sin θ, en appelant h la distance CH et a la distance CG.

(À suivre…)

Bonsoir Dahlia, encore moi. Je suis toujours scotché au tout début de ta réflexion. Je ne comprends pas très bien comment le couple de redressement peut-être fonction du poids P. Dans tes trois premiers dessins, G ne bouge pas (OK); seul C passe en C'.
Le couple de redressement ne peut provenir que d'une force opposée à la force appliquée en C' qui n'est pas P, mais la poussée d'Archimède qui n'est pas égale à P.
A signaler d'ailleurs que les points C, C' ne sont situés sous le centre de gravité G que pour les bateaux de surface; sur un sous-marin, il faut gérer les deux conditions (immergé avec C au-dessus de G et émergé avec C au-dessous de G).
Pardonne moi si je me trompe. Bien amicalement. Yves